Sin duda se trata de una bonita pieza con un diseño muy de su época; como señala el compañero @pescadorj, eran relojes con personalidad.
Gracias @fantich y @Pedro843cc por la invocación y por vuestras amables palabras.
Aunque me temo que en esta ocasión está complicada la cosa. Veámoslo brevemente.
Basis Watch fue fundada en 1938 por Adolf Thommen, en Tecknau, Suiza.

A lo largo de las décadas fabricaría relojes con muchas marcas (registraron un buen número de ellas, literalmente de la A a la Z) si bien las más conocidas quizás sean la propia Basis y Orion. Fue uno de los grandes fabricantes de fornituras para piezas de rango medio-bajo pero acabaría desapareciendo en la vorágine de fusiones y reorganización de la industria relojera suiza.
Por lo que respecta a la marca Ross, en principio no aparece en registros a nivel internacional. La única referencia es la Ross Watch Case Corp., un fabricante de cajas norteamericano, sito en Long Island City (NY), que iniciaría operaciones en torno a 1945. Fabricaba cajas de buena calidad para marcas destinadas al mercado estadounidense, desde Elgin a Wittnauer, pasando por Omega, Girard-Perregaux, etc.
Volviendo a los relojes Ross, otro punto a tener en cuenta es que se pueden encontrar algunos, hay cierta variedad, pero no parece que hayan sobrevivido demasiados ejemplos. ¿Tiradas cortas? ¿Difusión muy localizada? ¿Un tema de calidad?
Algunas fuentes se aventuran a afirmar que Ross era una marca fabricada por la Hafner Watch Co., una empresa fundada por Paul Hafner, en 1959, en la ciudad de Montreux. El problema es que no hay constancia de ello en los registros y se basan simplemente en que algunas piezas llevan el calibre marcado con esa denominación.
No obstante, eso no se correspondería con la pieza presentada por @Pedro843cc, claramente fabricada por Basis Watch, u otras que se pueden encontrar online y que llevan otras marcas, aquí por ejemplo un modelo que habría fabricado la Trice Watch Inc.
Vista la diversidad de fabricantes de fornituras, parece entonces que nos encontraríamos ante una marca de fantasía. La cuestión es determinar de dónde. Una rápida búsqueda en el BOPI español nos permite encontrar una marca Ross registrada por D. Manuel Rosselló Biescas.



El problema, aparte de la falta de parecido en los logos, es que D. Manuel, domiciliado en Ciudadela, trabajaba principalmente en el campo de la bisutería y joyería; aparecerá también como titular de Cadenas Gelabert Caules, una empresa que por el nombre debía ser heredera de la fábrica de Juan Gelabert Caules. Ignoro si también vendió relojes.
Otros registros consultados (Francia, Italia, Suiza) no ofrecieron resultados aunque al no haber realizado una búsqueda en profundidad, no descarto que la entrada se encuentre perdida en alguna base de datos (al basarse en digitalizaciones de impresos y documentos antiguos, no es raro que suceda). Así pues, su procedencia continúa en el aire y habrá que seguir investigando.
Añadir también algún modelo que apareció y que muestra logos diferentes, por lo que bien podrían tener un origen distinto.